2019年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（初级中学）

注意事项：

考试时间为120分钟，满分为150分。
请按规定在答题卡上填涂作答，在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

在每小题列出的四个备选中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。

下列选项中，运算结果一定是无理数的是

A. 有理数与无理数的和。
B. 有理数与有理数的差。
C. 无理数与无理数的和。
D. 无理数与无理数的差。

在空间直角坐标系中，由参数方程
$\left\{\begin{aligned} x&=a\cos^2t\\ y&=a\sin^2t\\ z&=a\sin{2t} \end{aligned}~~(0\le t\le 2\pi) \right.$ 所确定曲线的一般方程是

A. $\left\{\begin{aligned} &x+y=a\\ &z^2=2xy \end{aligned} \right.$

B. $\left\{\begin{aligned} &x+y=a\\ &z^2=4xy \end{aligned} \right.$

C. $\left\{\begin{aligned} &x^2+y^2=a^2\\ &z^2=2xy \end{aligned} \right.$

D. $\left\{\begin{aligned} &x^2+y^2=a^2\\ &z^2=4xy \end{aligned} \right.$

已知空间直角坐标系与球坐标系的变化公式为
$\left\{\begin{aligned} x&=\rho\cos\theta\cos\varphi\\ y&=\rho\cos\theta\sin\varphi\\ z&=\rho\sin\theta \end{aligned}~~~(\rho\ge0,-\pi<\varphi<\pi,-\frac{\pi}{2}\le \theta\le\frac{\pi}{2}) \right.$ 则在球坐标系中 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 表示的图形是

A. 柱面
B. 圆面
C. 半平面
D. 半锥面

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $B$ 是 $A$ 经过若干次初等行变换后得到的矩阵，则下列结论正确的是

A. $|A|=|B|$
B. $|A|\ne |B|$
C. 若 $|A|=0$ ，则一定有 $|B|=0$
D. 若 $|A|>0$ ，则一定有 $|B|>0$

已知 $f(x)=\sum_{n=1}\limits(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}(\pi x)^{2n-1}$ ，则 $f(1)=$

A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $\pi$

若矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\x&4&y\\-3&-3&5\end{pmatrix}$ 有三个线性无关的特征向量， $\lambda=2$ 是 $A$ 的二重特征根，则

A. $x=-2,~~y=2$
B. $x=1,~~y=-1$
C. $x=2,~~y=2$
D. $x=-1,~~y=1$

下列描述为演绎推理的是。

A. 从一般到特殊的推理
B. 从特殊到一般的推理
C. 通过实验验证结论的推理
D. 通过观察猜想得到结论的推理

《义务教育数学课程标准（2011年版）》从四个方面阐述了课程目标，这四个方面是：

A. 知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。
B. 基础知识，基本技能，问题解决，情感态度。
C. 基础知识，基本技能，数学思考，情感态度。
D. 知识技能，问题解决，数学创新，情感态度。

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

一次实践活动中，某班甲、乙两个小组各20名同学在综合实践基地脱玉米粒，一天内每人完成脱粒数量（千克）的数据如下：

甲组：
57, 59, 63, 63, 64,
71, 71, 71, 72, 75,
75, 78, 79, 82, 83,
83, 85, 86, 86, 89.

乙组：
50, 53, 57, 62, 62,
63, 65, 65, 67, 68,
69, 73, 76, 77, 78,
85, 85, 88, 94, 96.

问题：

(1) 分别计算甲、乙两组同学脱粒数量（千克）的中位数；（2分）

(2) 比较甲、乙两组数据，请你给出2种信息，并说明实际意义。（5分）

判断过点 $p_1(2,0,1)$ ， $p_2(4,3,2)$ ， $p_3(-2,1,1)$ 的平面 $\Pi$ 与平面 $\frac{1}{2}x+2y-7z+3=0$ 的位置关系，并写出一个与平面 $\Pi$ 垂直的平面方程。
已知方程 $x^5+5x^4+5x^3-5x^2-6x=0$ 的两个实数解为 $1$ 和 $-2$ ，试求该方程的全部实数解。
用统计方法解决实际问题的过程包括哪些步骤？
评价学生的数学学习应该采用多样化的方式，请列举四种不同类型的评价方式。

三、解答题（本大题1小题，10分）

设 $\mathbb{R}^2$ 为二维欧氏平面， $F$ 是 $\mathbb{R}^2$ 到 $\mathbb{R}^2$ 的映射，如果存在一个实数 $\rho(0<\rho<1)$ ，使得对于任意的 $P,Q\in \mathbb{R}^2$ ，有 $d(F(P),F(Q))\le\rho d(P,Q)$ （其中， $d(P,Q)$ 表示 $P,Q$ 两点之间的距离），则称 $F$ 是压缩映射。设映射 $T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2,~T((x,y))=\left(\frac{1}{2}x,\frac{1}{3}y\right),~\forall(x,y)\in \mathbb{R}^2.$

(1) 证明：映射 $T$ 是压缩映射。

(2) 设 $P_0=P_0(x_0,y_0)$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中任意一点，令 $P_n=T(P_{n-1}),~n=1,2,\dots$ ，证明：当 $n\rightarrow\infty$ 时，平面点列 $\{P_n\}$ 收敛，并求 $\lim_{n\rightarrow\infty}\limits P_n$

四、论述题（本大题1小题，15分）

函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何利用函数的观点来认识中学数学课程中的方程、不等式、数列的内容。

五、案例分析题（本大题1小题，20分），阅读案例并回答问题。

案例：
甲、乙两位数学老师均采用如下素材组织了探究活动。

如示意图1所示，这是一个三级台阶，它的每一级长宽和高分别为50cm，25cm，15cm。 $A$ 和 $B$ 是这个台阶的两个相对的端点。 $B$ 点上有一只蚂蚁想到 $A$ 点去吃食物，请你想一想，这只蚂蚁从 $B$ 点出发，沿着台阶面跑到 $A$ 点，最短路线是什么？

！示意图1

两会教师的主要教学过程如下|：

【甲老师】
大屏幕展示问题情境，组织小组讨论，学生开始读题、交流……教师巡视过程中，看到有同学把台阶画出，与教学预设不符，立即终止了大家的讨论。“同学们请注意读题，是‘沿着台阶面’，你们把这张图画出来有什么用呢？请继续思考。”
在接下来的教学过程中，就是又遇到新的情况。有的同学画出展开图，却把台阶弄错了，于是教师再次中止了大家的思考。

【乙教师】
教师展示问题情境，将问题稍作分析以后，立即出示了一张台阶模样的纸片，边说边将纸片拉直（如示意图2）“老师做了一个简单的教具，接下来大家继续探究下去。”
片刻，反应机敏的同学抢先说出了答案，按教师讲解后，绝大多数同学似乎都理解了。

！示意图2

【甲乙教师课后交流】
两位教师在教学中均采用了探究的方式，并在教学后进行了简单交流。甲老师说：“我觉得这道题难度适中，放手给学生研究应该问题不大，可是真让我失望。”乙老师很诧异地说：“啊？怎么会啊？我事先准备的教具，教学过程很顺畅啊。”

问题：

(1) 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“有效的数学教学活动是教师教与学生学得统一”，“教师应成为学生学习活动的组织者、领导者、合作者……”请说明了两位老师的教学是否符合这些要求。（5分）
(2) 两位教师组织的探究活动各自存在什么问题？请简要说明并叙述理由。（10分）
(3) 组织数学探究活动需要注意哪些事项？请简要说明。（5分）

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》附录中给出了两个例子：

例1. 计算15x15，25x25，95x95，并探索规律。
例2. 证明例1所发现的规律。

很明显，例1计算得到的乘积是一个三位数或四位数，其中后两位数都是25，百位和千位上的数字存在这样的规律：1x2=2，2x3=6，3x4=12，……这是“发现问题”的过程，在发现问题的基础上，需要尝试用语言和符号表达规律，实现“提出问题”，进一步实现“分析问题”和“解决问题”。

请根据上述，内容完成下列任务：

（1）分别设计例1和例2的教学目标。（8分）
（2）设计“提出问题”的主要教学过程。（8分）
（3）设计“分析问题”和“解决问题”的主要教学过程。（7分）
（4）设计推广例1所探索的规律的主要教学过程。（7分）

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